Solución 2º de Secundaria

PARTE CONCEPTUAL (40%)

1. ¿Cuantos y cuales tipos de multiplicación vectorial existen?

Sol.-

Existen dos tipos de multiplicación entre vectores:

· Multiplicación Punto o Escalar (Se llama así por que el resultado es un Escalar y el símbolo usado es un punto: ·)

· Multiplicación Cruz o Vectorial (Se llama así por que el resultado es un Vector y el símbolo usado es una cruz: ´)

La Multiplicación Vectorial de los vectores A y B se define como un nuevo vector que es perpendicular al plano formado por los vectores A y B en la dirección de avance de un tornillo de rosca derecha que ha sido rotado del vector A hacia el vector B (GRAFICO 1.1).

Lo más interesante en este tipo de multiplicación es que el modulo del vector A ´ B es el área del paralelogramo formado por los módulos A y B y viene dada por

| A ´ B | = AB sen(q ) = Área (1.1)

La Multiplicación Escalar de los vectores A y B se define como la cantidad escalar obtenida de:

A · B = AB cos (q ) (1.2)

Donde q es el ángulo que existe entre el vector A y el vector B cuando ambos están comenzando de un mismo punto (GRAFICO 1.1).

El vector A y el vector B pueden ser escritos como:

A = A_xi + A_yj + A_zk = A_xu_x + A_y u_y + A_z u_z (1.3)

B = B_xi + B_yj + B_zk = B_xu_x + B_y u_y + B_z u_z (1.4)

donde i, j, k son vectores unitarios, es decir vectores cuyo modulo vale la unidad y están orientados hacia el lado positivo de cada uno de los ejes x, y, z (GRAFICO 1.2) y las A_x, A_y, A_z son las componentes del vector A (GRAFICO 1.3).

Nota: La magnitud de los vectores i, j y k vale una unidad, es decir: |i| = i = 1, |j| = j = 1, etc...

Nota: Para el vector B el grafico de las componentes B_x, B_y, B_z será equivalente al GRAFICO 1.3, lo que variará será el modulo, la dirección y el sentido del vector B en consecuencia también las magnitudes de sus componentes.

Si se aplica la definición dada por la ecuación (1.2) se obtiene

A · B = A_xB_x + A_yB_y + A_zB_z (1.5)

Este resultado es un escalar (un numero) puesto que no contiene ningún vector unitario.

Si A = B entonces A · A = AA cos (0) = AA = A²(El ángulo entre el vector A y el mismo vector A es cero), es decir el modulo del vector A vendrá dado por:

(1.6)

De igual modo es evidente que el modulo del vector B viene dado por:

(1.7)

De la definición de Multiplicación Escalar, ecuación (1.2), y de las relaciones (1.5), (1.6) y (1.7) se puede despejar y calcular por ejemplo el ángulo q :

cos^-1(A·B/AB)=

2. De un ejemplo de una onda longitudinal y otro ejemplo de una onda transversal.

Sol.-

Ejemplos de onda longitudinal

· El sonido

· Un resorte oscilando en la dirección y

Ejemplos de onda transversal

· La luz

· Las Ondas Electromagnéticas en general

· Una cuerda amarrada a una pared en la que se realiza un movimiento de vaivén.

3. ¿Que es el eco? Use palabras como onda, velocidad, reflexión, etc.

Sol.-

Una Onda de Sonido con velocidad constante que se refleja en una superficie dada que puede ser una montaña, un cerro, un monte, etc., retorna también como onda, con prácticamente la misma velocidad, a su lugar de origen percibiendo en el observador el fenómeno conocido como el eco.

4. ¿Cual es la diferencia entre reflexión y refracción?

Cuando una onda de luz llega de un medio 1 a un medio 2 oblicuamente a la superficie de separación entre ambos medios parte de la onda se refleja, es decir vuelve al medio A, y parte se refracta, es decir pasa al medio B.

5. ¿Como se forma una imagen en un espejo esférico? (grafique)

Un rayo de luz proveniente de un objeto puntual O incide sobre un espejo esférico cóncavo cuyo radio de curvatura es r.

El eje de referencia es una línea que pasa a través de O y que está centrada en el centro de curvatura C.

La ecuación: , relaciona la distancia objeto o y la distancia imagen i en función del radio de curvatura r.

Solución 2º de Secundaria

PARTE PRÁCTICA (60%)

1. Se ha medido el tiempo de viaje que una persona realiza entre dos puntos fijos:

#	1	2	3	4	5	6	7
T[minutos]	12,3	12,9	15,1	11,8	13,0	14,5	13,9

a. Calcule

b. Calcule el error porcentual

Sol.-

Teoría Veamos algunos conceptos básicos sobre estadística:

Tipos de Errores

· Fortuitos o aleatorios.- Están presentes en cualquier medición que se realice, se puede decir que son parte de la naturaleza.

· Sistemáticos.- Están presentes cuando los equipos de medida están mal calibrados, o sea son repetitivos.

· Gruesos.- Son descuidos (falta de atención) en la toma de datos.

Error de una sola medición

La ecuación que resalta el resultado medido es:

donde:

es la variable medida, que puede ser cualquier cantidad física como por ejemplo:

longitud, masa, tiempo, densidad, peso, volumen, corriente, resistencia, etc…

es la MÍNIMA lectura visible del instrumento utilizado para la medición.

Ejemplo 1

Se midió la longitud de un marcador con una regla común (que mide hasta los milímetros):

La mínima lectura visible en la regla usada es de:

Por lo tanto el resultado final es:

Ejemplo 2

Se midió el tiempo de viaje de un estudiante entre dos puntos fijos con un cronometro común (que mide hasta la centésima de segundo):

La mínima lectura visible en el cronometro usado es de:

Por lo tanto el resultado final es:

Ejemplo 3

Se midió la masa de un objeto con una balanza común (que mide hasta la décima de Kilogramo):

La mínima lectura visible en la balanza usada es de:

Por lo tanto el resultado final es:

Error de varias mediciones (Pregunta)

Los datos tomados se colocan en una tabla:

# de dato	1	2	3	4	5	6	…	n
x	x₁	x₂	x₃	x₄	x₅	x₆	…	x_n

La ecuación del resultado final es:

donde:

es el valor promedio

es el número de datos

es el error fortuito resultante del conjunto de mediciones

Desviación Típica de una Muestra

Desviación Típica de una Población (se usa para muchos datos: >1000)

Estas variables estadísticas pueden ser calculadas directamente por cualquier calculadora científica.

Uso de la Calculadora Científica

a) Habilite el modo SD (Standard Desviation): MODE SD

b) Limpie la memoria: SHIFT CLR SCL =

c) Verifique la limpieza: SHIFT =

Debería verse en la pantalla el mensaje: Math ERROR

d) Introduzca sus Datos: x₁ DT x₂ DT x₃ DT x₄ DT …

e) Calcule la desviación típica de una muestra: SHIFT =

f) Calcule el valor promedio: SHIFT =

Nota: Los distintos modelos de calculadoras científicas pueden diferir levemente. Consulte con su manual de propietario para cualquier duda.

Ejemplo 4 (Solución a la pregunta) Se ha medido el tiempo de viaje de un estudiante entre dos puntos fijos 8 veces habiéndose obtenido los siguientes resultados:

#	1	2	3	4	5	6	7
T[minutos]	12,3	12,9	15,1	11,8	13,0	14,5	13,9

Sol.-

Por lo tanto

Entonces:

Sin embargo debemos redondear este resultado, en este caso a un solo decimal:

Note que el redondeo se lo realiza hasta el digito indicado por el error fortuito , en este caso hasta la décima.

Error Relativo y Error Porcentual

Se define el error relativo como:

Y el error porcentual como:

En el caso en que se conozca el valor exacto de la cantidad física que se está midiendo: se define el error relativo como:

Ecuación que se aplica para una sola medición como también para varias mediciones. El error porcentual se define de la misma manera.

Note que ambas cantidades son adimensionales.

Ahora debemos usar estas relaciones para hallar el error porcentual pedido:

2. El Campo Magnético, cuyo símbolo es B, y se mide en [Teslas = T] es una medida de cuan intenso es un imán. La corriente, cuyo símbolo es I y se mide en [Amperes = A] es una medida de la carga eléctrica de las partículas que pasan por un cable en un tiempo dado. La carga eléctrica es un equivalente a la masa de las partículas pero en realidad es una masa eléctrica que se mide en [Coulombs = C]. Las partículas que forman las corrientes más comunes son los electrones. André Marie Ampere (1775 – 1836) encontró que una corriente I que pasa por un cable genera en el espacio circundante un campo magnético B. En un experimento se ha medido el Campo Magnético B, a una distancia R de un cable por el que pasa una corriente I, habiéndose obtenido los siguientes datos:

R [centímetros]	1	6	15	52	68	118	202	247	411	502	601
B[miliTeslas]	50,5	34,9	21,6	13,1	10,9	68,1	33,2	27,0	17,1	11,2	3,1

a. Grafique en un plano euclidiano este fenómeno.

b. Le parece correcto afirmar, analizando su grafico, qué el campo magnético B es cada vez menos intenso a medida que uno se va alejando del cable?

c. Es cierto que el campo magnético es más débil muy cerca del cable?

Sol.-

b. Verdadero

c. Falso

Nota: A una distancia entre a y 2 metros existe una anomalía existiendo un incremento en B abrupto para luego ir descendiendo a medida que nos vamos alejando del cable.

3. Un oscilador armónico se describe por la ecuación , donde todas las cantidades se expresan en unidades MKS. Encontrar:

a. La Amplitud, el Periodo, la Frecuencia y la Fase Inicial de la oscilación.

b. La posición para un tiempo de 15 s.

c. Graficar en un mismo plano: , y

Solución

a. Una onda puede ser expresada según la siguiente ecuación

(3.1)

donde

A ® Amplitud [m]

w ® Frecuencia Angular o Velocidad Angular [rad/s]

f ® Fase Inicial [rad]

t ® Tiempo [s]

x ® Distancia Variable vertical [m]

(wt + f) ® Fase del Movimiento [rad]

se cumple que:

(3.2)

donde

f ® Frecuencia [1/s=Hz (Hertz)]

(Numero de repeticiones por unidad de tiempo)

P ® Periodo [s] (Tiempo en el cual la función se repite a si misma)

Por lo tanto usando la ecuación (3.1) podemos calcular:

La Amplitud:

A = 5

y la Frecuencia Angular:

El Periodo P se puede calcular de la ecuación (3.2)

y la frecuencia f sale también de la ecuación (3.2):

finalmente la fase inicial será

b. La Posición para un tiempo de 5 [s] se puede calcular simplemente reemplazando en la ecuación original este tiempo:

Nota: Tenga cuidado con las unidades. En su calculadora debe habilitar la opción de “radianes” (Rad) para que halles el resultado correcto. Existen otras dos opciones: Grados (Deg[^o]) y Gradianes (Grad). La equivalencia es

GRAFICO 3.1

4. ¿A que profundidad se ve una moneda que está en el fondo de una piscina de profundidad H? El coeficiente de refracción del agua vale 1,33.

Sol.-

La moneda parecerá que está a una profundidad menor a H. Sea esa profundidad: h. Figura (4.1)

Figura 4.1

Notemos que en la figura (4.1) el rayo OA no se refracta por que es vertical, mientras que el rayo OB₁B se refracta. Supongamos que estos dos rayos divergentes llegan al OJO humano, el ojo ve la imagen de la moneda en el punto donde se cortan los rayos divergentes AO y BB₁, es decir, en el punto O₁. De la figura (4.1) se ve que la distancia que buscamos h está relacionada con la profundidad H según la relación: